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Before talking about quantum distillation and dilution, let’s spend some time discussing the definition of typical sequency。假如从数源 $\{X,p_X\}$ 中生成序列 $A=\{x_1 x_2 x_3...... \}$ ，当这个序列N非常大时，可以想象序列中取值为 $x$ 的个数趋于 $N\cdot p_x$ 。满足此条件的序列称为typical sequency. 而序列的概率 $p_A=\Pi_x p_x^{N\cdot p_x}$ ，对这个等式两边取对数，可得到 $p_A=2^{-N\sum_x p_x ln p_x}$ ，其中 $-\sum_x p_x ln p_x=H(x)$ 被定义为熵率。由于等概率，这样的序列最多可以有 $2^{NH(x)}$ 个。这个特点被应用到压缩编码里面，用 $NH(x)$ 个比特来标记 $2^{NH(x)}$ 数据序列。

量子蒸馏讨论给定一定数量的任意的量子态，通过LOCC把转化为另一数量的最大纠缠态，比如Bell态。相反的过程就是所谓的量子稀释。给定一个量子纯态，它有施密特分解
$\left|\psi\right>=\sum_x\sqrt{p(x)}\left|x_A\right>\left|x_B\right>$ 。
假如AB共同拥有N个这样它态，可记为
$\left|\phi\right>=\left|\psi\right>^{\otimes N}=\sum_{x_1,x_2,...}\sqrt{p(x_1)p(x_2)...}\left|x_{1A}x_{2A}...\right>\left|x_{1B}x_{2B}...\right>$ 。
现在把求和限制在所有的typical序列，忽略其他的序列，
$\left|\phi^\prime\right>=\sum_{x\in\epsilon}\sqrt{p(x_1)p(x_2)...}\left|x_{1A}x_{2A}...\right>\left|x_{1B}x_{2B}...\right>$ ，
由于忽略了一些序列，这个态通常不归一，但是总可以用C来使他归一化。我们有
$F(C\left|\phi^\prime\right>,\left|\phi\right>)\rightarrow 1$ 当 $N\rightarrow \infty$ ，这个结论可以用$\epsilon-typical$严格证明。由A或者B对 $\left|\phi\right>$ 做一次局域的投影测量(在原始文献中叫做施密特投影)，投影到 $\left|\phi^\prime\right>$ 上的可能性非常大。这个测量实际上是投影到施密特系数都相等的态张成的子空间上。这样AB获得了最大纠缠态，其数量最多大约有 $2^{NH(x)}$ 对。

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May 13, 2017

Grover search algorithm

一个无序的数据库里有N个数，要找出目标数据。经典情形，运气不好时必需一一遍历所有的数据O(N)。Grover搜索可以在 $O(\sqrt{N})$ 次找出目标数据。假设N个数据用n个量子比特做为标签 $2^n=N$ . 量子搜索可以一次性的把所有的数据纠缠起来，实现所谓的量子并行搜索。用计算基矢 $\left|x\right>$ ，可表达为
$\left|s\right>=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_x\left|x\right>$ 。有一个量子黑箱子
$U_\omega\left|x\right>=-\left|x\right>$ ，if x is target number
$U_\omega\left|x\right>=\left|x\right>$ ，if x is not target number. 这个黑箱子翻转了满足条件的那个态，可记为 $U_\omega=I-2\left|\omega\right>\left<\omega\right|$

to be continued

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May 10, 2017

The Kochen-Specker Theorem

The Kochen-Specker theorem is another no-go theorem against hidden variable model. It claims the impossibility of assigning values to all physical observables, while at the same time, preserving the functional relations between them. It helps to define the completeness of quantum mechanics.

KS理论从另一个方面去否定隐变量理论。隐变量理论假设量子力学量的随机性是由于一个不可知的 $\lambda$ 导致，所以每个物理量都有确定的值，与测量无关。实验上测反复一个力学量，每次得到她的不同本征值，是因为制备的量子态有不同的隐变量 $\lambda$ . 考虑一个N-Hilbert空间，对应一个态，有力学量 $\hat{A},\hat{B}$ . 那么任意
$\hat{C}=\alpha\hat{A}+\beta\hat{B}$ 也是力学量，并且满足
$\left<C\right>=\alpha\left<A\right>+\beta\left<B\right>$ . 在隐变量理论中，我们假设了每一个力学量都有确定值，可以记为 $v(A),v(B),v(C)$ . 这些确定值通常不等于 $\left<A\right>,\left<B\right>,\left<C\right>$ ，后者是前者的隐变量平均。隐变量希望functional的关系对确定值也要成立，就是
$v(C)=\alpha v(A)+\beta v(C)$ . 然而这是不可能做到的。找一对不对易的算符，可以很容易证明矛盾。但是KS结论对相融的力学算符也是成立的。

用一组本征基组成投影算符 $\{P_{i=1\sim N}\}$ ，所以投影算符彼此是对易的。每一个投影算符构成一个力学量。同时一组投影算符只能有一个确定值记为1，其它记为0。那么有关系
$v(I)=v(\sum_i P_i)=\sum_i v(P_i)=1$ 。KS理论的证明是通过选定空间维度N，和力学量个数。到目前为止都表明了KS的正确。

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May 8, 2017

The probability of sharing birthday in a group of people

There are N persons in a group. One wants to know what is the probability of at least two persons sharing a birthday?
在一个群有N个人。在这个群里，至少有两个人在同一天生日的概率是多少？

prp

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April 23, 2017

EPR, Hidden variable and Bell inequality

EPR问题指的是量子力学里态的纠缠问题。如果制备这样一个双电子态
$\left|\psi\right>=\frac{\sqrt{2}}{2}(\left|01\right>+\left|10\right>)$ ，
两电子在空间上可以任意远。对其中一个电子进行测量，可以瞬间使得另一个电子的相关信息确定。这显然是一种非局域的影响。EPR不喜欢量子力学这种描述，认为量子力学是对自然的不完备描述。

隐变量理论是追求完备理论的尝试，它指出物理量的量子力学随机性是一个隐变量 $\lambda$ 决定的，只不过这个 $\lambda$ 独立于我们的观测，所有的随机性依然要服从经典的规律。更重要的是，隐变量指出物理量的取值只依赖于其局域的变量，与任何非局域的测量无关。基于此，Bell提出其著名的不等式，如果我们生活的世界服从经典规律，那么不等式就要成立；如果不等式被违反，世界就是“量子的”。

设想电子分别处于纽约和北京，对纽约的电子在 $\vec{a}$ 方向测量自旋，结果记为 $N(a,\lambda)$ ，相应测量北京的电子在 $\vec{a}$ 方向上自旋记为 $B(a,\lambda)$ ，这种结果发生的概率记为 $\rho(\lambda)$ . 自旋只有两个取值，在实验上，把测量自旋向下记为-1，测到自旋向上记为1。我们知道必定有 $N(a,\lambda)=-B(a,\lambda)$ 。隐变量 $\lambda$ 和测量方向同时决定了结果。如果我们对北京的电子在 $\vec{b}$ 方向上做测量，根据隐变量，结果的期望值为 $E(a,b)=\int\rho(\lambda)N(a,\lambda)B(b,\lambda)d\lambda$ ，而通过量子力学计算的期望值为 $\left<\sigma_N\cdot a\sigma_B\cdot b\right>=-a\cdot b$ 。如果二者结果一样，说明隐变量是可以存在的。

但是，二者不可能一样。计算如下关联：
$|E(a,b)-E(a,c)|$
$=|\int\rho(\lambda)\left(N(a,\lambda)B(b,\lambda)-N(a,\lambda)B(c,\lambda)\right)d\lambda|$
$\leq\int|\rho(\lambda)\left(N(a,\lambda)B(b,\lambda)-N(a,\lambda)B(c,\lambda)\right)|d\lambda$
$=\int|\rho(\lambda)N(a,\lambda)B(b,\lambda)\left(1-B(b,\lambda)B(c,\lambda)\right)|d\lambda$
$=\int|\rho(\lambda)N(a,\lambda)B(b,\lambda)\left(1+N(b,\lambda)B(c,\lambda)\right)|d\lambda$
$=\int|\rho(\lambda)\left(1+N(b,\lambda)B(c,\lambda)\right)|d\lambda$
$=1+E(b,c)$
这就是著名的bell不等式 $|E(a,b)-E(a,c)|\leq 1+E(b,c)$ 。它和量子力学预言是不相容的，如果选取 $a\cdot b=\cos\frac{\pi}{4}, a\cdot c=\cos\frac{\pi}{2}, b\cdot c=\cos\frac{\pi}{4}$ ，量子力学给出
$|E(a,b)-E(a,c)|=|-\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{2}|=|-\frac{\sqrt{2}}{2}+0|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，和
$1+E(b,c)=1-\cos\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，显然
$\frac{\sqrt{2}}{2}\geq 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 不同于隐变量预言。

这两种预言，可以通过实验来检验，到目前为止，实验都是支持量子力学的。

Bell不等式通常有另外一个表述，叫做CHSH不等式，计算如下关联：
$|E(a,b)-E(a,b^\prime)|$
$=|\int\rho(\lambda)d\lambda\left( N(a,\lambda)B(b,\lambda)-N(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda) \right)|$
$\leq\int\rho(\lambda)d\lambda| N(a,\lambda)B(b,\lambda)-N(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda)|$
$=\int\rho(\lambda)d\lambda|N(a,\lambda)B(b,\lambda)(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda))-N(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda)(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda))|$
$\leq\int\rho(\lambda)d\lambda|N(a,\lambda)B(b,\lambda)(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda))|+|N(a,\lambda)B(b^\prime,\lambda)(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda))|$
$=\int\rho(\lambda)d\lambda|(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda))|+|(1^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda))|$
$=\int\rho(\lambda)d\lambda(2^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b^\prime,\lambda)^+_-N(a^\prime,\lambda)B(b,\lambda))$
$=2^+_-E(a^\prime,b^\prime)^+_-E(a^\prime,b)=2^+_-(E(a^\prime,b^\prime)+E(a^\prime,b))$
所以有
$|E(a,b)-E(a,b^\prime)|\leq 2^+_-(E(a^\prime,b^\prime)+E(a^\prime,b))$
等价于
$|E(a,b)-E(a,b^\prime)|\leq 2-|E(a^\prime,b^\prime)+E(a^\prime,b)|$
$|E(a,b)-E(a,b^\prime)+E(a^\prime,b^\prime)+E(a^\prime,b)|\leq 2$ 就是著名的CHSH不等式。